Lineare Algebra Beispiele

det $[\begin{array}{c} 5 & 3 & 5 \\ 1 & 7 & 8 \\ 9 & 4 & 2 \end{array}]$

Schritt 1

Wähle die Zeile oder Spalte mit den meisten $0$ Elementen. Wenn keine $0$ Elemente vorhanden sind, wähle irgendeine Zeile oder Spalte. Multipliziere jedes Element in Spalte $1$ mit seinem Kofaktor und füge hinzu.

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Schritt 1.1

Betrachte das entsprechende Vorzeichendiagramm.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Schritt 1.2

Der Kofaktor ist die Unterdeterminante mit verändertem Vorzeichen, wenn die Indexe einer $-$ -Position im Vorzeichendiagramm entsprechen.

Schritt 1.3

Die Unterdeterminante für $a_{11}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $1$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.4

Multipliziere Element $a_{11}$ mit seinen Kofaktoren.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.5

Die Unterdeterminante für $a_{12}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $2$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.6

Multipliziere Element $a_{12}$ mit seinen Kofaktoren.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$

Schritt 1.7

Die Unterdeterminante für $a_{13}$ ist die Determinante, wenn Zeile $1$ und Spalte $3$ eliminiert werden.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.8

Multipliziere Element $a_{13}$ mit seinen Kofaktoren.

$5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 1.9

Addiere die beiden Ausdrücke.

$5 | \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 2

Berechne $| \begin{array}{c} 7 & 8 \\ 4 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 (7 \cdot 2 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$5 (14 - 4 \cdot 8) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$5 (14 - 32) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $32$ von $14$ .

$5 \cdot - 18 - 3 | \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} | + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 3

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 8 \\ 9 & 2 \end{array} |$ .

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Schritt 3.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 18 - 3 (1 \cdot 2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 9 \cdot 8) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $8$ .

$5 \cdot - 18 - 3 (2 - 72) + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $72$ von $2$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 | \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$

Schritt 4

Berechne $| \begin{array}{c} 1 & 7 \\ 9 & 4 \end{array} |$ .

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Schritt 4.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (1 \cdot 4 - 9 \cdot 7)$

Schritt 4.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 9 \cdot 7)$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $7$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 (4 - 63)$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $63$ von $4$ .

$5 \cdot - 18 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Schritt 5

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 18$ .

$- 90 - 3 \cdot - 70 + 5 \cdot - 59$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 70$ .

$- 90 + 210 + 5 \cdot - 59$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 59$ .

$- 90 + 210 - 295$

Schritt 5.2

Addiere $- 90$ und $210$ .

$120 - 295$

Schritt 5.3

Subtrahiere $295$ von $120$ .

$- 175$